Um es mal so kurz und einfach wie möglich zu erklären...
.NET Framework ist am Ende und .NET Core ist die Zukunft, da .NET Core modular aufgebaut ist. Statt dass im System ein ganzes Framework installiert sein muss, was auch unzählige Standardbibliotheken beinhaltet, werden bei .NET Core Anwendungen die Bibliotheken die verwendet werden einfach direkt mit den Programmen mitgeliefert, eben modular. Als Entwickler hat man etwas mehr Aufwand, kann sich aber viel flexibler unterschiedlichen Situationen anpassen, insbesondere wenn man seine Software auf unterschiedliche Systeme unterstützen möchte.
Theoretisch lebt .NET Framework ja sogar in .NET Core weiter, da viele Bibliotheken portiert wurden. Im Kern werden diese ggf. anders funktionieren, werden sich in der Syntax aber wohl kaum unterscheiden. Der eigentliche Unterschied besteht also letztlich nur darin dass man sich viele Bibliotheken jetzt erstmal via NuGet besorgen muss.